Kröpfen = eine Grundkonstruktion im Orgelbau

Es gibt eine Grundkonstruktion im Orgelbau, die selbst erfahrene Orgelbauer oft nicht zu deuten wissen, wiewohl sie vielleicht die Einstellung an der Kreissäge aus dem ff beherrschen. Wie gesagt aber, ohne zu wissen welcher konstruktive Grundsatz dahinter steht.

Das ist mir beim Studium einiger technischer Zeichnungen aufgefallen und auch bei der Fertigung, wobei ich nicht ausschliessen will, dass man selbst von eigener Unwissenheit überrascht wird.
Eine solche Konstruktion stellt die Formel aus dem Satz des Pythagoras: (a*a)+(b*b)= c*c (die Summen der Flächeninhalte der Kathedenquadrate sind beim rechtwinkligen Dreieck gleich dem der Fläche über der Hypotenuse). Dieser Satz war übrigens schon Jahrhunderte vorher den Babyloniern und in Indien bekannt. Was aber viel wichtiger ist, nämlich die Konsequenz, dass mit dieser Weisheit gerechnet werden kann, wurde unlängst nachgewiesen (H.Gericke, Mathematik der Antike, Orient, Abendland), dass hier die Sumerer schon 3200 v. Chr. in Stein geritzte Rechnungen durchführen konnten mit der ominösen Zahl „Wurzel aus 2. Das war zwar nur annäherungsweise geschehen, aber sollte für uns Anlaß sein, den Aberglauben aufzukünden, in der Antike wäre man einer „heiligen Zahlengeschichte um Pythagoras und seinen Schülern“ hinterher gelaufen.
Steinfund der Sumerer ca. 3500 v.Chr.
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Es scheint sicher zu sein, dass den Pythagoreern das Geschehen im Quadrat, in dem die Diagonale dann eine irrationale Zahl darstellt, wenn die Quadratseite eine schöne glatte Zahl ist, ihren ganzen „harmonischen Kosmos“ durcheinanderwirbelte, der ja wie beim Christentum auch, eine auf Harmonie ausgerichtete Gottheit voraussetzte.
Wir Orgelbauer haben seit es überhaupt Orgelbau gibt, immer mit dem Quadrat und dessen Diagonale gerechnet und konstruiert.

In der Mathematik des Mittelalters bis zu Eberhard Friedrich Walcker (hier nachweisbar an seinen eigenen Aufzeichnungen im Geometrieheft und später bei seinen Mensuraufzeichnungen) waren von pi und Wurzel aus 2 abgesehen überhaupt keine irrationalen Zahlen bekannt. Das Denken dieser Meister war von Proportionen, Berechnungen über Strahlensätze und einfachsten Berechnungen, wie Addition, Divison etc. geprägt. (Leuthold schreibt in seinem Buch „Berechnungsgrundlagen der Orgelpfeifenmensuren“ (…) Unterstufe des Gymnasiums“. Mir persönlich wäre diese Deutung lieber: alle Orgelpfeifen, die wir heute nachbauen, die wir als Vorbild unserer Arbeit unterlegen, sind mit diesen Berechnungsmethoden erstellt worden.

Geometrische Konstruktionen zur Gewinnung von Proportionen im Orgelbau sind nachweisbar von Salomon des Caus aus 1615, wo ein Quadrat und mittig mit 8 Dreiecken geteilt wurde und von Athanasius Kircher(1650), der mit der für diesen Blogbeitrag wichtigen Diagonale des Quadrates arbeitete.
Konstruktionen nach Caus, darunter Kirchner

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Wo brauchen wir heute im Orgelbau diese geometrischen Konstruktionen noch, wo doch alle Welt weiß, dass dieser ganze Blödsinn mit „heiligen Zahlen“ und „geometrischem Schnickschnak“ nichts als dunkelster Aberglaube war, den wir endlich nach dem Eintreten ins gelobte Land des Digitalismus hinter uns gebracht haben. (übrigens „digit“ stammt aus der römischen Antike, ist also „antiker“ kalter Kaffee. Dort war es die kleinste Recheneinheit, der Finger)

Ich gebe gerne zu, dass es für mich recht einfach war, die nachfolgenden Zeichnungen über digitales CAD auszuführen, aber genauso schnell verblendet uns wiederum dieses digitale Treiben, um des Pudels Kern deutlich zu erkennen. Im Übrigen geht es nicht darum Gegenwart zu verleugnen und Vergangenheit aufzuwerten, sondern es geht schlicht darum jeder Zeit ihren spezifischen Geschmack herauszuarbeiten und zu finden. Da übertreibt man oft gerne im Sinne eines seltsamen Historismus, der ohnehin immer Gegenwart klein macht.

Nun also, nach all den vielen Vorworten, zum Pudel.

Wenn in einem Orgelgehäuse die Höhe nicht reicht, muss der Orgelbauer Pfeifen kröpfen. Auch muss er kröpfen, wenn er Kanäle über Hindernisse leitet. (Trakturen umzuleiten, bezeichnen wir hingegen nicht als „Kröpfen“ sondern wir bauen Wellen, Wippen, Winkel und lenken die Kraftbetätigung solchermaßen um, wobei aber auch in diesem Fall Konstruktionen mit der Wurzel aus 2 sehr hilfreich sind).
Bei Walcker fand ich einige Zeichnungen die sich mit dem Thema beschäftigt haben, allerdings fand ich nie eine „Konstruktionserklärung“.

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Die gesuchte Konstruktionserläuterung fand ich bei Peter Kraul, ISO Information Nr.32 vom November 1990, wo sehr schön in klaren und einfachen Worten die Methodik erläutert wurde . (übersetzt übrigens von Mark Venning auf English und von Kurt Lueders auf Französisch. Sollten sich Leser für diesen Artikel interessieren, so können wir ihn gerne kopieren)

Der einfachste Weg eine Pfeife oder einen Kanal umzulenken ist, einen 45 Grad Schnitt zu machen und die Pfeife oder der Kanal läuft im Winkel von 90 Grad weiter:

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Jedermann wird sofort klar, dass dieser brutale, einfache Schnitt seine Mängel haben muß. Bei der Pfeife im Klang, beim Kanal kann man sich denken, dass die „Wirbel“ ein Freudenfest feiern.
Also werden wir, um Wirbel zu vermeiden, einen doppelten Schnitt durchführen:

kropf1bl.jpg

Bertrachten Sie dieses NBild einmal aus der Warte des Zuschneiders, wenn er an der Kreissäge steht. Er muß also, um den Kanal oder die Holzpfeife an der Kreissäge abzuschneiden, einen Winkel von 22,5 Grad einstellen. Dabei muß er zweimal sägen, um einen Abgang nach oben von 90 Grad zu erhalten. Dieser Winkel von 22,5 Grad ist deshalb exakt 45/2. Dieser Schnitt und die Einstellung an der Säge muß ganz exakt sein, weil sich sonst beim Anpassen der Schnittstellen Fehler doppelt auswirken. (ist der Winkel auf 22 Grad, so ist der Abgang am Ende 88 statt 90 Grad)

Wie aber, so fragt man sich, wird dieses Kropfstück in seiner Länge bemessen?
Bei einem quadratischen Kanal (das Beste, das man sich wünschen kann) haben wir optimale Windverhältnisse, und wir können sogar zwei Winkelschnitte gleichzeitig führen, wenn der Kanal in drei Dimensionen gekröpft werden soll, also von der Seite nach oben, und von oben gesehen von links nach rechts oder umgekehrt.
Auch hier hilft uns die Geometrie, denn dann schneiden wir den Kanal mit einem Winkel von 22,5 im Anschlag und die Säge wird auf 22,5Grad gestellt. Das Ganze nennt sich dann geometrisch: Wurzel aus 3. (Die Diagonale des Kubus)

Bleiben wir beim zweidimensionalen Kröpfen.
Natürlich ist der halbe Winkel von 90 Grad = 45 Grad (wie auch im vorigen Beispiel).

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Und hier stellt sich nun die Frage: wie bestimme ich den Schnittpunkt, wie berechne ich die Länge des Kropfstückes?

Da sind wir wieder bei unserer einleitenden Geschichte, mit heiligen Zahlen, Proportionen und irrationalen Zahlen, indem wir kurz unser Quadrat unter die Lupe nehmen, mit dem wir diese Konstruktion vornehmen:

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Denn, gegeben ist der Abstand a zwischen dem kommenden und abgehenden Kanalstück. Nehmen wir an, ich habe 10 cm Platz zwischen diesen beiden Punkten, so multipliziere ich diese 10cm mit Wurzel aus 2 oder 1,4142 (oder mit dem im ipad integrierten Taschenrechner) und weiß dann, dass das Kanalstück an oberer Kante exakt 141,42mm lang sein muß.

Dann kann man natürlich noch, obwohl es unnötig ist, alle weiteren Winkel schön darstellen und weitere komplizierete Varianten errechnen……

kropf2_winkel.jpg
Zur Fertigung braucht man das nicht mehr.

… und all das mit dunkelstem, dunklen Aberglauben,
Sumerer, Pytagoreer, Mittelalter,

Übrigens hat Peter Kraul in seinem Vortrag gezeigt, dass unser Alltag durch und durch mit dieser verzwackten irrationalem Wurzel aus 2 durchsetzt ist, so die DINA-Formate multiplizieren oder teilen sich durch die Wurzel aus 2 zur nächsten Größe. Ja, kann man da die Mittelalteren tadeln, dass sie dieses geheimnisvolle Werkzeug für ihre Mensurgestaltung verwendet haben? Oder die Schrifthöhen, auch sie multiplizieren sich mit der Wurzel aus 2.

Wir finden neben der Mensurgestaltung, der Lenkung von Winkel und Wippen, der Balgkonstruktionen, Windladenmaßen (Ventilgrößen, Bälgchen, Bohrungen etc.), und wie hier gezeigt die Konstruktion von Kröpfen, genügend Beispiele im Orgelbau, die beweisen, dass dort immer noch das Proportionsdenken und die geometrische Gestaltung ihre Berechtigung haben.

gerhard@walcker.com

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